BILANGAN

Bilangan kompleks dapat disajikan dalam koordinat kutub . Misalkan dan maka dapat dinyatakan dalam bentuk kutub dengan r = modulus (nilai mutlak) = = . = argumen dari z = = . y • z = x+ iy r θ x

Nilai argumen dari z (arg z) tidak tunggal tetapi merupakan kelipatan (sesuai dengan kuadran dimana titik z berada). Sedangkan, nilai utama, argumen pokok (principal value) dari ditulis dengan adalah tunggal.

Jelas, .

Perlu diperhatikan bahwa :

Operasi aljabar bentuk kutub dan sifat argumen

Misalkan dan dengan . a. Perkalian . b. Pembagian . . c. Invers sebarang bilangan kompleks yaitu . .

Contoh 3

Diketahui . Tentukan bentuk kutub dari z dan . Penyelesaian : Menggunakan sifat argumen diperoleh : . . □□

Selain dalam bentuk umum dan bentuk kutub , bilangan kompleks juga dapat dinyatakan dalam bentuk eksponen.

Bentuk eksponen	Bentuk eksponen bilangan kompleks yaitu dengan dinamakan rumus Euler.
Operasi aljabar bentuk eksponen	Misalkan dan . a. Perkalian b. Pembagian c. Invers sebarang bilangan kompleks yaitu
	Misalkan , maka menggunakan aturan pangkat seperti pada bilangan riil diperoleh ,
Teorema De Moivre	Jika , maka bentuk pangkat di atas menjadi , atau , . Selanjutnya dapat ditulis dalam bentuk yang disebut Rumus De Moivre .

Bentuk Akar

	Misalkan , akar pangkat n dari bilangan kompleks ditulis atau . Jika diberikan bilangan kompleks dan n bilangan bulat positif, maka diperoleh n buah akar untuk yaitu , . Secara geometri, n buah akar tersebut merupakan titik-titik sudut segi n beraturan pada suatu lingkaran dengan pusat titik O dan jari-jari .
Contoh 4	Tentukan semua akar dari dan gambarkan akar-akar tersebut dalam bidang kompleks. Penyelesaian : Misalkan , maka dan , , Sehingga diperoleh . . . y 2 x . □□

Soal-soal

1. Tentukan , , dan untuk

a. b.

2. Tuliskan bilangan kompleks berikut dalam bentuk kutub, tentukan juga .

a. c.

b. d.

3. Buktikan .

4. Tentukan semua akar dari dan gambarkan akar-akar tersebut

dalam bidang kompleks.