Entri favorit

selamat datang di BLOG nya orang cerdas

sahabat-sahabati teruslah bersemangat berusaha raih cita dan angan mu setinggi mungkin dan tetaplah berprestasi serta bertawakal hanya kpd ALLAH Swt

bagaimana perasaan cinta itu?

Selasa, 02 November 2010

BILANGAN

Bilangan kompleks dapat disajikan dalam koordinat kutub . Misalkan dan maka dapat dinyatakan dalam bentuk kutub

dengan

r = modulus (nilai mutlak) = = .

= argumen dari z =

= .




y z = x+ iy

r

θ

x

Nilai argumen dari z (arg z) tidak tunggal tetapi merupakan kelipatan (sesuai dengan kuadran dimana titik z berada). Sedangkan, nilai utama, argumen pokok (principal value) dari ditulis dengan adalah tunggal.

Jelas, .

Perlu diperhatikan bahwa :

Operasi aljabar bentuk kutub dan sifat argumen

Misalkan dan dengan .

a. Perkalian

.

b. Pembagian

.

.

c. Invers sebarang bilangan kompleks yaitu

.

.

Contoh 3

Diketahui . Tentukan bentuk kutub dari z dan .

Penyelesaian :

Menggunakan sifat argumen diperoleh :

.

. □□

Selain dalam bentuk umum dan bentuk kutub , bilangan kompleks juga dapat dinyatakan dalam bentuk eksponen.

Bentuk eksponen

Bentuk eksponen bilangan kompleks yaitu

dengan dinamakan rumus Euler.

Operasi aljabar bentuk eksponen

Misalkan dan .

a. Perkalian

b. Pembagian

c. Invers sebarang bilangan kompleks yaitu

Misalkan , maka menggunakan aturan pangkat seperti pada bilangan riil diperoleh

,

Teorema De Moivre

Jika , maka bentuk pangkat di atas menjadi , atau , . Selanjutnya dapat ditulis dalam bentuk yang disebut Rumus De Moivre .

Bentuk Akar

Misalkan , akar pangkat n dari bilangan kompleks ditulis atau . Jika diberikan bilangan kompleks dan n bilangan bulat positif, maka diperoleh n buah akar untuk yaitu

, .

Secara geometri, n buah akar tersebut merupakan titik-titik sudut segi n beraturan pada suatu lingkaran dengan pusat titik O dan jari-jari .

Contoh 4

Tentukan semua akar dari dan gambarkan akar-akar tersebut dalam bidang kompleks.

Penyelesaian :

Misalkan , maka dan ,

,

Sehingga diperoleh

.

.

.

y

2

x . □□

Soal-soal

1. Tentukan , , dan untuk

a. b.

2. Tuliskan bilangan kompleks berikut dalam bentuk kutub, tentukan juga .

a. c.

b. d.

3. Buktikan .

4. Tentukan semua akar dari dan gambarkan akar-akar tersebut

dalam bidang kompleks.